Gebrochen Brown'sche Bewegung

Die Gebrochene Brow’nsche Bewegung wurde von Mandelbrot und van Ness eingeführt, um Kritiken an klassischen Modellen (Random-Walk) Rechnung zu tragen. Neben der Drift und der Volatilität wird dieser stochastische Prozess durch den Hurst-Parameter beschrieben. Dieser Prozess ist selbstähnlich. Für den Hurst-Parameter H = 0,5 ist dieser Prozess die klassische Geometrische Brown’sche Bewegung (Random Walk). Für H > 0,5 sind die Inkremente des Prozesses positiv korreliert („trending„), für Werte H < 0,5 sind diese anti-korreliert („mean reversion„).

Geometrische Brown'sche Bewegung (Random Walk)

Die Geometrische Brown’sche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der in der Finanzmathematik eine bedeutende Rolle spielt. Ein Preis von heute ergibt sich in diesem Prozess-Modell  aus einem Vergangenheitspreis, der mit einer Rendite multipliziert wird. Diese Renditen werden oftmals normalverteilt angenommen (siehe Normalverteilung). Insbesondere ergibt sich in dieser Definition, dass die Rendite unabhängig von der Vergangenheit ist.

Monte-Carlo-Simulation

Sind computergestützte Zufallsexperimente, in welchen eine mathematische Größe anhand von Realisierungen von Zufallsvariablen bestimmt werden. Klassische Beispiele sind die Generierung von künstlichen Kurverläufen durch Random-Walks (siehe oben), um beispielsweise die erwartete Auszahlungsprofile von exotischen Optionen zu bestimmen. Weiter werden diese Simulationen üblicherweise bei der Bestimmung von Portfolio-Risiken eingesetzt.

Normalverteilung

10 DM - Schein mit Konterfei von Carl Friedrich Gauss und der Normalverteilung

Die Normalverteilung (beschrieben durch die gaußsche Glockenkurve) ist eine der wichtigsten Verteilungsannahmen in der Statistik. Seit dem 17. Jahrhundert widmeten sich viele Mathematiker der sogenannten Fehlerrechnung. In diesem mathematischen Umfeld entdeckte Carl Friedrich Gauß, dass bei der Darstellung der Verteilung von Meß-Fehlern sich unter bestimmten Voraussetzungen und bei hinreichenden vielen Beobachtungen die Gaußsche Fehlerkurve ergibt.

Wavelets

Wavelets sind eine Erweiterung der Fourieranalyse und haben seit der Einführung in den achtziger Jahren Eingang in viele technischen Innovationen, wie z.B. in die Telekommunikation, in die Bildverarbeitung sowie in die Videoübertragung gefunden. Ausgehend von Einschränkungen der Spektralanalyse, in welcher Signale als Schwingungen interpretiert werden und der Bezug zum Ort verloren geht, wurden Funktionssysteme entwickelt, die eine gleichzeitige Analyse von Bewegungen (Frequenzen) und ihrer Lokalisierung im Ort (oder in der Zeit) ermöglichen. Eine Interpretation ist, dass Informationen eines Signals (wie z.B. nachfolgend der DAX Performance-Index 1994-2014) in glatte (niederfrequente) und Detail (hochfrequente) – Strukturen unterteilt werden. Welche Detailebene zur Analyse verwendet wird, ist durch die sogenannte Wavelet-Skala (im Beispiel hier 32) vorgegeben.

Zerlegung der DAX-Zeitreihe (1994-20014) in grobe (niederfrequente) und feine (hochfrequente) Details

Literatur

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  • Mandelbrot, Benoit, The Variation of Certain Speculative Prices, Oct., 1963, The Journal of Business, Vol. 36, No. 4, pp. 394-419 (The University of Chicago Press)
  • Mandelbrot, Benoit B. and Van Ness, John W., Oct., Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications, 1968, SIAM Review, Vol. 10, No. 4, 422-437 (Society for Industrial and Applied Mathematics)
  • Meyer, Y., Cambridge Studies in Advanced Mathematics (No. 37), Translated by D. H. Salinger, 1993 (Cambridge University Press: Cambridge).
  • Meyer, Y., A Tribute to Jean Morlet, 2008. http://www.cirm.univ- mrs.fr/videos/2008/exposes/330/ymeyer2.pdf.
  • Ramsey, J.B., The contribution of wavelets to the analysis of economic and financial data. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 1999, 357(1760), 2593–2606.
  • Ramsey, J.B., Usikov, D. and Zaslavsky, G., An analysis of U.S. stock price behavior using wavelets. Fractals, 1995, 3(2), 377–389.
  • Skodras, A., Christopoulos, C. and Ebrahimi, T., The JPEG 2000 still image compression standard. IEEE Signal Process Mag., 2000, 18(5), 36–58.
  • Taubman, D.S. and Marcellin, M., JPEG2000: Image Compression Fundamentals, Standards and Practice, Kluwer International Series in Engineering & Computer Science, 2001 (Kluwer Aca- demic Publishers: Norwell, MA).
  • Wußing, Hans, 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band II Von Euler bis zur Gegenwart. ISBN-13: 978-3540771890, Springer Spektrum, 2008.