Grundlegend für die Arbeiten von Benoît Mandelbrot sind die sogenannten Multi-Skalen-Techniken, d.h. die gleichzeitige Analyse von diversen Skalen und das Verhalten von Maßen über Variation der zugrunde gelegten Skala (Skalierungsverhalten). So zeigt er in der klassischen Veröffentlichung „How Long is the Coast of Britain“, dass die Antwort auf diese Frage (wie lang die Küste von Britannien ist) stark davon abhängt, welche Einheit zur Messung der Küstenlinie verwendet wird. Über das Skalierungsverhalten verschiedener Maßeinheiten schließt er dann, dass die Küste unendlich lang sei.

Fraktale Märkte

Analog verhält es sich mit Aktienpreisen, die ebenfalls als fraktal angenommen werden dürfen. 1968 verallgemeinert er mit van Ness, das für die Finanzmathematik grundlegende Modell eines Random Walks, in dem er neben dem Zuwachs von Renditen (Drift) und deren Schwankung (Volatilität) einen weiteren Parameter, den sogenannten Hurst – Exponenten, einführt. Mit diesem Parameter lässt sich das Skalierungsverhalten der Preise beschreiben. Hierbei können Werte < 0,5 als „Mean Reversion“ interpretiert werden, während Werte > 0,5 als „Trending“ verstanden werden können.

Skalierungsverhalten von Zeitreihen mit unterschiedlichen Hurst-Exponenten

Nur im Grenzfall, wo der Hurst-Exponent gleich 0,5 ist, darf man von „effizienten Märkten“ sprechen. In diesem Fall wäre die Zeitreihe statistisch trendfrei, d.h. sie hätte keinen Bezug zur Vergangenheit. Bei fraktalen Oberflächen kann dieser Hurst-Exponent als Rauhigkeitskoeffizient interpretiert werden. Je größer der Hurstexponent, desto glatter die Fläche.

Fraktale Trends

Gegen Ende seiner Laufbahn skizziert Mandelbrot ein Konstruktionsprinzip über Trends, welches dem Konstruktionsprinzip von Fraktalen folgt. Ausgehend von einem Haupttrend wendet er eine Unterteilunsgvorschrift an, die diesen Haupttrend in drei kleinere Trends unterteilt. In einem nächsten Schritt werden diese kleineren Segmente wiederum weiter in noch kleinere Trends zerlegt. Das Ganze führt auf ein Fraktal, in dem Trends durch kleinere Trends beschrieben werden können.

Wavelets

Mit modernen Methoden der Signaltheorie ist es möglich, genau diese Sichtweise zu entwickeln. Hierzu kann eine Zeitreihe in Trendstrukturen zerlegt werden. Welche Detailebene dabei berücksichtigt wird, hängt von der sogenannten „Wavelet-Skala“ ab. Je größer die Skala, desto gröber die Strukturen, die unter dieser Analyse-Technik gefunden werden. Es ergibt sich dann analog zu der Skizze von Mandelbrot eine fraktale Charakteristik.

Trendzerlegung des DAX Performance-Index zu unterschiedlichen Wavelet-Skalen

Faktor-Investments als Trend-Investments

In unserer Arbeit „Fractal Markets, Frontiers, and Factors“ zeigen wir, dass man bekannte Faktor-Strategien wie

  • Momentum (stark gestiegene Aktien),
  • „Low Volatility“ (Aktien, die schwach schwanken),
  • und „Value“ (Aktien, die aufgrund von wirtschaftlichen Kennzahlen als günstig angesehen werden)

durch systematische trendbasierte Strategien beschreiben und ersetzen kann. Hierzu werden für alle Aktien des Universums lediglich der zuletzt sichtbare Trend ausgewertet und dann nach Steigung sortiert. Die Unterschiede in den Strategien können durch verschiedene Wavelet-Skalen, mit welchen man die letzten sichtbaren Trends ausrechnet, beschrieben werden.

Investment-Stile und Marktregime

Diese Sichtweise von Investment-Stilen (Faktor-Investments) ist zudem nahezu vollständig, d.h. man ist in der Lage, Marktrenditen mit hoher statistischer Güte durch diese Investment-Stile zu beschreiben. Diese Stile sind zusätzlich in unterschiedlichen Marktregimen dominant, d.h. sie genieren in unterschiedlichen Phasen Überrenditen. Beispielsweise ist die Investition in defensive Aktien („Low Volatility“) dann attraktiv, wenn der Markt sich in einer Abwärtsphase befindet, während „Value“ oftmals Überrenditen generiert, wenn Märkte als „billig“ gelten und Marktteilnehmer davon ausgehen, dass sich die Kurse erholen. Bei Momentum spielen die Gewinnrevisionen von Unternehmen dagegen eine dominante (aber nicht ausschließliche) Rolle.